ГЛАВА 14. ВОЛНЫ В ОКЕАНАХ И МОРЯХ

Волны, Атлантический, Тихого Океана, Океана, Огромный
Изображение Elias Sch. с сайта Pixabay

§ 52. Основы теории волн

История исследования морских волн

История исследования морских волн восходит к трудам Ньютона, Лапласа, Лагранжа и др. Первые теории морских волн базировались на положениях классической гидродинамики и связаны с работами Герстнера, Стокса, Релея, Джефриса, Кельвина и др. Большой вклад в изучение волн внесен трудами отечественных ученых А. И. Некрасова, Н. Е. Кочина, Л. Н. Сретенского, В. М. Маккавеева, В. В. Шулейкина, Ю. М. Крылова, Л. Ф. Титова и многих других.

Трохоида и циклоида

Все классические теории волн рассматривали установившееся волнение, которое существует после прекращения действия внешнего импульса, т. е. свободные гравитационные волны, которым больше всего отвечает зыбь. В этих теориях исследовалась форма волнового профиля при различной глубине моря, кинематическая структура, закон изменения движения с глубиной и были получены формулы для основных элементов волн. Одной из ранних теорий волн на большой глубине была теория трохоидальных волн, опубликованная в 1802 г. чешским ученым Герстнером. Она построена на допущениях, что море бесконечно глубоко, вода состоит из отдельных материальных частиц, лишенных внутреннего трения, частицы, находящиеся на одной и той же глубине, описывают замкнутые орбиты одинакового радиуса, но различаются по фазе, так как приходят в движение неодновременно. При такой кинематике частиц волновой профиль имеет форму трохоиды. На рис. 25 приводится трохоида — кривая, представляющая собой след точки т, лежащей на поверхности производящего круга радиусом r0, расположенного внутри катящегося круга радиусом R при перемещении его без скольжения по горизонтали (ХХ) в пространстве. Кривая, описанная точкой М катящегося круга, будет циклоида, т. е. предельная кривая семейства трохоид. На рис. 22 a показано движение частиц воды при поступательном перемещении профиля в пространстве. С началом действия ветра каждая из двух соседних частиц, расположенных слева с наветренной стороны, приходит в движение раньше. Частица 1 выйдет из состояния покоя раньше, чем частица 2, которая отстает от частицы 1 на угол θ1, а частица 2 от 5 — на θ2 и т. д.

Рис. 25. Трохоида и циклоида.
Рис. 25. Трохоида и циклоида.

Все частицы, лежащие на одной глубине (изобаре), с началом волнения находятся в разной фазе колебаний θ. Соединив точки 1, 2, 3, 4 b т.д., можно получить профиль волны в момент t0. Можно получить волновой профиль и в момент t’, соединив точки 1′, 2′, 3′ и т.д., который будет смещен в направлении действия ветра. Аналитически, решая уравнения движения, и геометрически трохоидальная теория дает выражения для волнового профиля в виде:

x = Rθ+rsinθ,

z = rcosθ, (39)

где x и z — текущие координаты частиц; R=λ/2π — радиус катящегося круга; r = L/2 — радиус производящего круга; θ — фаза, определяющая положение частицы в ее орбите.

Фаза, зависящая от положения центра орбиты относительно начала координат и времени (рис. 22 а), имеет выражение θ=ka — ωt, где k =2π/λ — носит название волнового числа; ω = 2π/τ — угловая скорость; λ — длина волны; τ — период; а — расстояние центра орбиты, описываемой частицей от среднего уровня в момент времени t.

Трохоидальная теория

Трохоидальная теория дает основные формулы для определения элементов волн — длины λ, периода τ и скорости с:

Формулы длины, периода и скорости волны
(40), (41), (42)

Так как длина, период и скорость распространения волн связаны между собой уравнением λ = сτ, то, измерив один из трех элементов, можно определить остальные два (табл. 18). Высота волн h определяется инструментально или по эмпирическим формулам, полученным из непосредственных наблюдений.

Таблица 18

 λτс
λ1,56τ20,64с2
τ0,8 √λ0,64с
с1,25 √λ1,56τ

Если принять g = 9,81 м/с2, входящее в расчетные формулы, то, определяя длину волны в метрах, период всекундах, а скорость в м/с, можно получить простые формулы, связывающие λ, с, τ.

В трохоидальной теории получен закон изменения радиусов r круговых орбит с глубиной, а следовательно, и высот волн, так как r0=h0/2:

 закон изменения радиусов круговых орбит с глубиной
(43), (44)

где r0 и h0 радиус орбиты и высота волны на поверхности моря; rz и hz радиус орбиты и высота волны на глубине z.

Из этих выражений следует, что с увеличением глубины в арифметической прогрессии радиусы орбит, а также и высоты волн убывают в геометрической прогрессии. Отсюда вытекает, что на глубине, равной половине длины волны (z=λ/2), высота волны уменьшается в 23 раза, т.е. почти до 4% поверхностной, а на глубине, равной длине волны (z = λ), — в 535 раз. Таким образом, на глубине, равной λ/2, волнение можно считать затухшим. Выводы трохоидальной теории волн применимы главным образом при исследовании зыби.

Для исследования волн в открытом море и прибрежной полосе приходится обращать внимание на соотношение между длиной волны и глубиной моря и использовать выводы не только теории коротких трохоидальных волн, но и теории волн конечной глубины и длинных волн. Если глубина Н велика, то при отношении Η/λ≥0,3/0,5  орбиты частиц круговые, а профили трохоидальных волн распространяются со скоростью c2=gλ/2π, следовательно, период τ, длина λ и другие элементы определяются по формулам трохоидальной теории.

Если глубина Н конечна и отношение 0,1 < Н/λ<0,3-^0,5, эллиптические орбиты вытянуты и профиль волны близок к синусоидальному. Это волны мелководья, распространяющиеся со скоростью

Скорость распространения волны мелководья
(45)

которая зависит не только от длины волны, но и от глубины моря. Если глубина моря мала по сравнению с длиной волн, то гиперболический тангенс

гиперболический тангенс
(46)

тогда скорость будет равна c2=gH. Это известное выражение Лагранжа-Эри для скорости распространения свободных длинных волн, у которых длина превосходит глубину моря и отношение H/λ≤0,1. Они возникают главным образом под действием приливобразующих сил Луны и Солнца, а также геотектонических сил. Однако и ветровые волны, распространяясь с больших глубин на малые, могут преобразовываться в длинные, когда их длина начинает превосходить глубину моря. У длинных волн профиль синусоидальный и орбиты частиц представляют собой эллипсы, очень сильно вытянутые в горизонтальном направлении. Заметим, что скорость перемещения волнового профиля длинной волны зависит от глубины и не зависит от других элементов. При переходе на малые глубины скорость распространения длинных волн определяется формулой Дудсона

Формула Дудсона

где a амплитуда волны.

Максимальная скорость горизонтальных смещений частиц (течений) связана с амплитудой волны а и глубиной моря Н формулой Комоа

Формула Комоа
(48)

Длина и период длинных волн определяются выражениями:

Длина и период длинных волн
(49), (50)

Источник: Общая гидрология, Гидрометеоиздат, Ленинград, 1973